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Chapter 2: Relational Model

一、基本定义

  • 关系（Relation）：是一个数学概念，即具有行（row）、列（col）的表格（table）

图：关系（Relation）的示例

图：关系（Relation）的示例

  • 关系型数据库（Relational Database）：一种或多种关系的集合

二、关系型数据库的结构

1. 基本结构

给定集合：\(D_1,D_2,...,D_n\space (D_i=a_{ij}|{}_{j=1...k})\) ，则它们的笛卡尔乘积（Cartesian Product）为 \(D_1\times D_2\times...\times D_n\)，关系 \(r\) 即为上述笛卡尔乘积的子集

示例：

图：关系的含义示例

图：关系的含义示例

2. 属性（Attribute）

  • 关系中的每个属性都有一个名字
  • 属性的域（Domain）：属性的取值范围组成的集合（The set of allowed values）
  • 特殊值 NULL 是每个域的成员
  • 关系理论第一范式：属性值（Attribute Values）是原子的（不可分的）
    • 多值属性值（multivalued attribute values）不是原子的
    • 复合属性值（composite attribute values）不是原子的

3. 关系的概念

关系包含两个概念：关系模式（relation schema）和关系实例（relation instance）

  1. 关系模式：描述关系的结构
    • 假设 \(A_1,A_2,...,A_n\) 是属性

    • \(R=(A_1,A_2,...,A_n)\) 是关系模式

      示例：instructor-schema  = (ID, name, dept_name, salary)

      - $r(R)$ 是基于关系模式 $R$ 的关系

      示例：instructor(instructor-schema)

      = instructor(ID, name, dept_name, salary)

      1. 关系实例：关系中的数据在某一特定时刻的快照（snapshot）
        • 使用表（table）来表示
        • 关系 \(r\) 中的元素（element）\(t\) 是一个元组（tuple），使用表格中的一行（row）来表示

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4. 关系的特性

  • 在关系中，元组的顺序无关紧要
  • 在关系中，不允许出现重复的元组（duplicated tuples）
  • 在关系中，属性值（Attribute Values）是原子的

5. 码/键（Key）

  • 令 \(K\subset R\) ，即 \(K\) 是 \(R\) 的属性的一个子集（注意： \(K\) 是集合而非元素，即 \(K\) 内可含多个键）
  • \(K\) 是 \(R\) 的超键（superkey），若在每一个关系 \(r(R)\) 中， \(K\) 的值足够识别出独一无二的元组
    • 例：由属性ID和name组成的集合可以作为学生数据库的超键
  • \(K\) 是 \(R\) 的候选键（candidate key），若 \(K\) 是 \(R\) 的超键，且 \(K\) 的任意真子集都不是 \(R\) 的超键
  • \(K\) 是 \(R\) 的主键（primary key），若 \(K\) 是 \(R\) 的候选键，且由用户决定它为主键
    • 主键通常使用下划线标记
    • 主键是表中的一列或多列，它能够唯一地标识表中的每一行数据。主键的值必须唯一且不能为空
    • 每个表只能有一个主键，主键约束确保了表内数据的唯一性，防止了重复记录的产生

6. 外码/外键（Foreign Key）

  • 设存在关系 \(r\) 和 \(s\) ：r ( A , B , C ) , s ( B , D )，则在关系 \(r\) 中，属性 \(B\) 是参照 \(s\) 的外键
    • \(r\) 是参照关系（referencing relation）
    • \(s\) 是被参照关系（referenced relation）
  • 在参照关系中，外键的值必须在被参照关系中实际存在
  • 外键是表中的一列或多列，它指向另一个表的主键，用来建立表与表之间的联系
  • 模式图（Schema Diagram）

图：银行数据库的模式图

图：银行数据库的模式图

7. 查询语言（Query Languages）

  • 查询语言：用户从数据库中请求信息所用的语言
  • 纯语言（Pure Languages）构成了查询语言的基础
  • 纯语言包括：
    • 关系代数（Relational Algebra）：SQL 的基础
    • 元组关系演算（Tuple Relational Calculus）
    • 域关系演算（Domain Relational Calculus）

三、关系代数 Relational Algebra

1. 基本运算

  1. Select（选择）

    • 符号： \(\sigma_p(r)=\{t|t\in r\ and\ p(t)\}\)

      \(p\) 为命题演算公式（Propositional Calculus），它的每个部分支持运算符： \(=、\neq、\geq、\leq、>、<\)，各部分之间使用 and、or、not 相连接

    示例：

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    1. Project（投影）
    2. 符号： \(\prod_{A1,A2,…}(r)\)，A1, A2… 为属性名
    3. 由于关系是集合（set），因此在包括投影运算在内的各种运算中，结果会消去重复项

    示例：

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    1. Union（并）
    2. 符号： \(r\cup s\)
    3. 生效条件：r 和 s 的属性数量必须相同，属性的域必须兼容

    示例：

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    1. Set Difference（差）
    2. 符号： \(r-s=\{t|t\in r\ and\ t \notin s\}\)
    3. 生效条件：r 和 s 的属性数量必须相同，属性的域必须兼容

    示例：

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    1. Cartesian Product（笛卡尔积）
    2. 符号： \(r\times s\)

    示例：

    image.png

    1. Rename（命名）
    2. Rename 操作用于为同一组关系设置一个新的名字（refer to a relation by more than one name）
    3. Rename 操作也可同时为关系及其属性命名
    4. 符号：
      • \(\rho_X(E)\) 返回 关系 E 在名称 X 下的表达式
      • \(\rho_{X(A_1,A_2,…,A_n)}(E)\) 将 关系 E 命名为 X，并将它的 n 个属性命名为 \(A_1,A_2,…,A_n\)

2. 额外运算

  1. Set Intersection（交）

    • 符号： \(r\cap s =r-(r-s)\)
    • 生效条件：r 和 s 的属性数量必须相同，属性的域必须兼容

    示例：

    image.png

    1. Natural Join（自然连接）
    2. 含义：连接两个关系中同名属性值都相等的元组
    3. 符号： \(r\bowtie s\)
    4. 生效条件：r 和 s 有共同的属性（名和域都对应相同）

    示例：

    image.png

    1. Theta Join
    2. 含义：先进行笛卡尔乘积再进行筛选
    3. 符号： \(r\bowtie_\theta s=\sigma_\theta (r\times s)\)
    4. Division（除）
    5. 符号： \(r\div s=\{t|t\in \prod_{R-S}(r)\land [\forall u\in s(tu\in r)]\}\)
    6. 性质：若 \(q=r\div s\) ，则 q 是满足 \(q\times s \subseteq r\) 的最大关系
    7. 使用基本代数运算的定义：
    设 $r(R)$ 和 $s(S)$ 都是关系，且 $S\subseteq R$，则有

$r\div s=\prod_{R-S}(r)-\prod_{R-S}((\prod_{R-S}(r)\times s)-\prod_{R-S,S}(r))$
    • 常在“for all”为关键词的查询中使用，例如“查找选修了某门课的所有同学姓名”

    示例： \(Q=R\div S\)

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    1. Assignment（赋值）
    2. 赋值运算（ \(\leftarrow\)）为表示复杂的查询提供了便捷的方式，它将符号右侧的关系赋值给左侧的关系
    3. 符号左侧的关系需要是一个临时变量

    示例：

    image.png

3. 扩展运算

  1. Generalized Projection（广义投影）

    • 符号： \(\prod_{F1,F2,…}(r)\)，F1, F2… 为计算表达式

    示例：

    image.png

    1. Aggregate Functions（聚合函数）
    2. 聚合函数的种类：avg、min、max、sum、count（计数）
    3. 使用格式： \(_{G_1,G_2,…,G_n}g_{F_1(A_1),F_2(A_2),…}(E)\)
      • \(G_1,G_2,…,G_n\) 是属性的列表，用于指定聚合函数的分组规则，也可以不指定
      • \(F_i\) 是聚合函数， \(A_i\) 是聚合函数所作用的属性名称
    4. 聚合函数的运算结果没有名称，可使用 as 为其指定名称
    ![image.png](Chapter%202%20Relational%20Model%2019d9c6b6155b80bcae35c2f428878643/image%2016.png)

    示例：

    image.png

4. 多集运算（Multiset）

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5. 总结

  1. 关系代数运算接收一或两个关系作为输入，返回一个新的关系作为结果

  2. 运算的优先级

    1. Project
    2. Select
    3. Cartesian Product
    4. Join、Division
    5. Intersection
    6. Union、Difference

    示例：

    Find the names of all customers who have loans at the Perryridge branch but do not have an account at any branch of the bank.

    解：

    image.png

    示例：

    Find the largest account balance (i.e., self-comparison).

    解：

    image.png

    示例：

    Find all customers who have an account from at least the “Downtown” and the “Uptown” branches.

    image.png

6. 数据库操作的实现

  1. Deletion（删除）

    • 符号： \(r\leftarrow r-E\)

    示例：

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    1. Insertion（插入）
    2. 符号： \(r\leftarrow r\cup E\)

    示例：

    image.png

    1. Updating（更新）
    2. 含义：改变一条数据内的若干属性（不必为全部属性重新赋值）

    示例：

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